В рамках этой web-страницы предлагаем Вашему вниманию "Странички истории", отражающий основные этапы развития математики.

В 213 году до нашей эры, Римский флот осадил крупный Греческий город - Сиракузы. По легенде, великий Греческий ученый Архимед, который был родом из этого города, спас его от врагов при помощи зеркал, отразив ими солнечные лучи на дерево, из которого были сделаны Римские корабли. Корабли загорелись и Римский флот был уничтожен.

Такова легенда, но было ли это на самом деле, или эта история только выдумка никто не знает. И для разгадки этого вопроса, в сентябре 1993 года начал свое существование проект "Сиракузы". Он поставил себе задачу опровергнуть легенду об Архимеде и найти ее первоисточники.

Итак, существуют два ее (легенды) варианта. Первый вариант утверждает, что Архимед велел всем своим войнам начистить до зеркального блеска их плоские щиты, а после этого встать на стены города. Далее воины должны были направить все солнечные зайчики, получившиеся путем отражения солнечных лучей, в одну точку. С помощью большого количества, созданной таким образом солнечной энергии, Римский флот был подожжен.

По второй версии, Архимед создал парабалическое зеркало с помощью которого сфокусировал солнечные лучи на вражеских судах.

Что нам известно из самой легенды? Мы смело можем утверждать, что корабли находились примерно в 150 метрах от городской стены, т.к. на на меньшем расстоянии разбить зеркала или внести суматоху в ряды воинов-защитников могли пращевики или лучники, находящиеся на Римских кораблях.На большем же расстоянии потери при передаче энергии были-бы столь велики, что ее могло бы не хватить на то, что бы зажечь дерево, из которого был сделан римский флот. Рассмотрим вероятность второй версии этой легенды.

Прежде всего, необходимо было придумать, каким образом сам Архимед мог сделать такого вида зеркало. Мы исключаем возможность создания его из кусочков обыкновенных зеркал, наклеенных на параболическую поверхность.Этот способ не дает хороших результатов ( очень трудно добиться хотя бы приблизительно гладкой поверхности у такого зеркала и поток лучей будет рассееваться, что не даст нам достаточного количества энергии).

Также нельзя предположить, что Архимед мог создать такое зеркало путем шлифования двух плоских стекл. Вручную трудно создать более или менее правильную параболическую поверхность. Погрешность будет велика и будет большое рассеевание лучей.

Рассмотрим вариант создания такого зеркала, подобный варианту создания телескопа Вуда. Если налить в какой-либо сосуд ртуть и начать ее равномерно раскручивать, то через некоторое время его поверхность примет форму правильного параболоида. То же самое произойдет, например с расплавленным оловом. Потом, когда олово затвердеет, получившуюся поверхность можно покрыть каким-либо отражающим покрытием и у нас будет готовое параболическое зеркало. Следовательно Архимед мог иметь такое зеркало.

Но, как мы знаем, для парабалических зеркал и для зеркал, близких по форме к парабалическим выполняется уравнение l=α·F, где l-площадь фокального пятна, α угловая величина отраженного предмета, а F-фокус отражающего зеркала. Причем величина зеркала не имеет особого значения.

Итак, нам необходимо найти l для того, чтобы можно было бы хоть примерно отценить величину зеркала, необходимого нам.

Нам известно, что угловая величина солнца над горизонтом равна половине градуса. Т.к. градус приблизительно равен одной пятидесятой радиана, следовательно α равен одной сотой радиана.

Как уже говорилось раньше, фокус нужного нам зеркала равен примерно 100 метрам. Следовательно l=150·1/100=1, то есть радиус фокального пятна будет равен 1.5 метра. Поэтому Q/q = S/s. Отношение количества теплоты, необходимой для зажигания дерева к количеству теплоты, попадающей на землю с солнечными лучами численно должно быть равно площади отражающего зеркала ( s=1.5 метра. )

Из справочников нам известно, что для того, чтобы зажечь, например кусок сухого, пропитанного смолой дерева нам необходима температура 500 - 700 градусов. Также известно, что для того, чтобы зажечь кусок этого же дерева за 20 секунд, нам нужна освещенность в 70 раз больше, чем освещенность предметов прямым солнечным светом в дневное время.

Из формулы следует, что для создания такого освещенности, Архимеду нужно было построить зеркало, площадью в 73.5 метра.

2. Огюстен Коши

(21.08.1789 – 23.05.1857)

Среднее арифметическое положительных чисел не меньше их среднего геометрического:

.

Это известное неравенство, принадлежащее французскому математику Огюстену Коши, было опубликовано в 1821 году. С тех пор оно традиционно считается одним из самых трудных численных неравенств. За полтора века появилось несколько десятков различных доказательств этого неравенства. Традиция была начата самим Коши. Его доказательство занимало несколько страниц сложных выкладок.

Огюстен Коши родился в Париже, с ранних лет проявляя большие способности к математике. Его первым учителем и воспитателем был отец – страстный латинист и ревностный католик. 13-ти лет Коши был определен в Центральную школу. Окончив затем курс математических наук в Политехнической школе и получив впоследствии инженерную подготовку в Школе мостов и дорог, в 1807 был отправлен на инженерные работы. В 1810-1813 он работал на сооружении военного порта в Шербуре.

С 1813 года Коши предался исключительно научным занятиям и преподаванию и в 1816 году стал членом Парижской академии наук. В это время он читает лекции в Политехнической школе, в Коллеж де Франс и на факультете наук. Ко времени этого рода деятельности Коши относится появление "Трактата по дифференциальному и интегральному исчислению", которым он ввел более точные методы преподавания анализа. С 1826 года он начал печатать "Exercices mathématiques", свой собственный журнал, содержащий работы автора в разных областях математики.

Во время июльской революции Коши, будучи роялистом, отказался присягать новому правительству и не хотел оставаться во Франции, откуда был изгнан король, а отправился в Турин. Здесь сардинский король создал для Коши особую кафедру de physique sublime. В 1830-1838 годах он путешествовал по Европе. Многократно Коши предлагали различные ученые должности, но он от них отказывался, не желая принимать присяги пока, наконец, ему не предложили кафедру "без условий". Только в 1848 году Коши стал профессором Сорбонны.

Его твердые религиозные и политические убеждения были причиною того, что люди противоположных партий относились к нему пристрастно и упрекали, среди прочего, в недостаточной законченности работ. Между тем, именно та быстрота, с которой Коши переходил от одного предмета к другому, дала ему возможность проложить в науке множество новых путей.

Работы Коши относятся к различным областям математики. Были периоды, когда он каждую неделю отправлял в Парижскую академию наук новый мемуар. Всего он опубликовал более 800 работ в таких областях как: арифметика и теория чисел, алгебра, математический анализ, дифференциальные уравнения, теоретическая и небесная механика, математическая физика.

Курсы "Курс анализа Политехнической школы" (1821), "Краткое изложение лекций по исчислению бесконечно малых" (1823), "Лекции по приложению исчисления бесконечно малых к геометрии" (1826-1828) послужили примерами для последующих курсов. Первое из упомянутых сочинений дает новое обоснование для математического анализа. В этой работе содержится строгое определение бесконечно малой величины, причем в его основу положено понятие о предельном переходе. Такое определение и дало возможность обосновать все операции, которые производятся над бесконечно малыми величинами в курсах дифференциального и интегрального исчислений. Коши дал определение понятия непрерывности функции, четкое построение теории сходящихся рядов, ввел понятие радиуса сходимости.

Гидродинамические изыскания привели Коши к вычислению определенных интегралов. Он дал определение интеграла как предела интегральных сумм и доказательство существования интегралов от непрерывной функции.

Большой заслугой Коши в истории математики является то, что он развил основы теории функций комплексного переменного, заложенные еще в XVIII веке Эйлером и Даламбером. Он предложил геометрическое представление комплексного переменного как точки, перемещающейся в плоскости по пути интегрирования; показал, что степенной ряд

В своих первых работах Коши еще недалеко уходит от предшественников, прибегая к комплексному переменному в анализе лишь как вспомогательному средству, позволяющему решать трудные задачи интегрального исчисления. Вскоре, однако, исследования Коши и других ученых приводят к такому исключительному богатству фактов и новых результатов, что становится ясно, что речь идет о существовании самостоятельной дисциплины – теории функций комплексного переменного. На протяжении 1826-1829 годов Коши создает теорию вычетов и ее приложения к различным вопросам анализа.

Теоретическое обоснование математического анализа Коши было настолько прочно, что оно сохранило свое значение до последних лет XIX века. Лишь в конце XIX века появилась необходимость вновь пересмотреть эти основы и ввести еще более строгое обоснование для понятий, входящих в классический математический анализ. Это было сделано творцами нового направления в математических концепциях – сторонниками теоретико-множественного разъяснения функциональной зависимости.

В теории дифференциальных уравнений Коши принадлежат: постановка одной из основных задач этой теории (задача Коши); доказательства основных теорем существования решений для случая действительных и комплексных переменных (для последних он развил метод мажорант); метод интегрирования уравнений с частными производными первого порядка.

В геометрии он обобщил теорию многогранников, разработал новый метод исследования поверхностей второго порядка, дал интересные исследования касания, выпрямления и квадратуры кривых, установил правила применения анализа к геометрии, вывел уравнение плоскости и параметрическое представление прямой в пространстве.

В алгебре Коши развил теорию определителей, нашел их основные свойства (в частности, доказал теорему умножения), ввел понятие "модуля" комплексного числа, "сопряженных" комплексных чисел и др., обобщил теорему Штурма для комплексных чисел.

В области теории упругости Коши ввел понятие напряжения, составил дифференциальные уравнения равновесия для элементарного прямоугольного параллелепипеда, развил понятие деформации. В оптике математически развил теорию Френеля и теорию дисперсии.

Научному творчеству Огюстена Коши свойственен "глобальный" подход к решению поставленных проблем: зная результаты для бесконечного числа значений исследуемого объекта (что графически изображается в виде кривой), он выводил общие свойства функции для любого значения объекта.

Коши, реакционер и идеалист, "доказал" конечность натурального ряда чисел. Доказательство это было ошибочным, ноб завершив его, Коши указал на аналогию между множеством натуральных чисел и множеством всех звезд, как существующих, так и существовавших. Отсюда следует, по Коши, конечность мира. В заключение этого рассуждения Коши заявляет: "То, что мы говорили о числе звезд, можно также сказать о числе людей, живших на Земле, о числе оборотов Земли на ее орбите, о числе тех состояний, которые прошел мир со времени его существования. Итак, был первый человек, было первое мгновение, в которое появилась Земля в пространстве и начался самый мир. Таким образом, наука приводит нас к тому же, к чему приучает нас вера".

Коши состоял членом Лондонского королевского общества и почти всех академий наук мира; был кавалером ордена Почетного легиона.